Число е

Число e — это не просто буква в алфавите, а настоящий математический супергерой! Если бы математика была комиксом, e был бы тем персонажем, который всегда приходит на помощь в самых сложных ситуациях. Давай разберемся, почему это число такое важное и как оно связано с программированием.

Что такое число e?

Число e, приблизительно равное 2.71828, является основанием натурального логарифма. Оно встречается повсюду: от роста населения до сложных процентов в экономике и даже в теории вероятностей. Но чем же оно так привлекает программистов?

Сложные проценты — простая жизнь

Представь, что ты вложил 1000 рублей под 5% годовых, и проценты начисляются раз в год. Через год ты получишь:

initial_investment = 1000  # Начальная сумма
interest_rate = 0.05       # Процентная ставка
years = 1                   # Количество лет

finalamount = initialinvestment * (1 + interest_rate) ** years
print(f'Сумма через {years} год(а): {final_amount} рублей')

Но если бы проценты начислялись каждый день, то это было бы уже интереснее! Для этого мы можем использовать число e. Формула для расчета будет выглядеть так:

daysperyear = 365
finalamountdaily = initialinvestment * (1 + interestrate / daysperyear) ** (daysperyear * years)
print(f'Сумма через {years} год(а) с ежедневным начислением: {finalamountdaily} рублей')

А теперь представь, что ты увеличиваешь количество начислений до бесконечности. Здесь на помощь приходит число e:

finalamountcontinuous = initialinvestment * (e ** (interestrate * years))
print(f'Сумма через {years} год(а) с непрерывным начислением: {finalamountcontinuous} рублей')

Функция e^x и её магия

Число e также связано с экспоненциальной функцией e^x. Эта функция обладает удивительными свойствами: её производная равна самой функции. Да-да, ты не ослышался! Это значит, что если ты возьмешь производную от e^x, то получишь снова e^x. Математическая магия!

Давай напишем код, который вычисляет значение функции e^x:

import math

x = 2  # Значение, для которого считаем e^x
result = math.exp(x)
print(f'e^{x} = {result}')

Число e в теории вероятностей

Число e также появляется в теории вероятностей. Например, вероятность того, что определенное событие произойдет хотя бы один раз за определенный период времени, можно выразить через e. Если вероятность события равна p, то вероятность его непроизошедствия за n попыток будет равна (1 - p)^n. И чем больше n, тем ближе результат к e^(-λ), где λ — это среднее количество событий.

Давай посмотрим на простой пример:

import numpy as np

p = 0.1  # Вероятность события
n = 10   # Количество попыток

probabilitynotoccurred = (1 - p) ** n
probabilityoccurred = 1 - probabilitynot_occurred
print(f'Вероятность события произойти хотя бы один раз: {probability_occurred:.2f}')

Интересные факты о числе e

• Исторический контекст: Число e было впервые обнаружено в XVII веке швейцарским математиком Якобом Бернулли при изучении сложных процентов.


• Тайна числа: Число e является иррациональным, а значит, его нельзя выразить в виде дроби.


• Графики: График функции y = e^x всегда положителен и стремится к бесконечности с увеличением x.

Применение числа e в программировании

Число e, как ты уже понял, не просто математическая любопытность. В программировании оно используется в различных алгоритмах и моделях. Например, при работе с нейронными сетями часто применяются функции активации, основанные на экспоненциальной функции.

Давайте создадим простую программу, которая вычисляет значение функции eˣ для заданного значения x и также покажет, как использовать e в контексте функции активации сигмоида.

import numpy as np

# Определяем значение x
x = float(input("Введите значение x: "))

# Вычисляем e^x
e_to_x = np.exp(x)
print(f"e^{x} = {e_to_x}")

# Функция активации сигмоида
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

# Вычисляем значение сигмоиды для x
sigmoid_value = sigmoid(x)
print(f"Сигмоида({x}) = {sigmoid_value}")

Объяснение кода:
1. Импорт библиотеки: Мы импортируем библиотеку NumPy, которая содержит функции для работы с математическими вычислениями, включая экспоненциальную функцию.
2. Ввод значения: Программа запрашивает у пользователя ввод значения x .
3. Вычисление eˣ : Используем np.exp(x) для вычисления eˣ и выводим результат.
4. Определение функции сигмоида: Создаем функцию sigmoid, которая принимает на вход значение x и возвращает значение сигмоиды.
5. Вычисление сигмоиды: Вызываем функцию sigmoid с введенным значением x и выводим результат.

Таким образом, число e пронизывает многие аспекты программирования и математики. Оно помогает нам решать задачи и делает нашу жизнь чуть более интересной. Так что не забывай про этого маленького гиганта чисел в своих проектах!